八年级下册数学好题难题精选
分式：
一：如果abc=1,求证 + + =1
解：原式= + +
= + +
=
=1
二：已知 + = ，则 + 等于多少？
解： + =
=
2( ) =9
2 +4 +2 =9
2（ ）=5
=
+ =
三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：
解之得：
经检验得： 是原方程解。
∴小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 。
四：联系实际编拟一道关于分式方程 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。
解略
五：已知M＝ 、N＝ ，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2。
解：选择一： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
选择二： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
选择三： ，
当 ∶ =5∶2时， ，原式= ．
反比例函数：
一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
解：（1）设函数关系式为
∵函数图象经过（10，2） ∴ ∴k=20， ∴
（2）∵ ∴xy=20， ∴
（3）当x=6时，
当x=12时，
∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为
二：是一个反比例函数图象的一部分，点 ， 是它的两个端点．
1
1
10
10
A
B
O
x
y
（1）求此函数的解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
解：（1）设 ， 在图象上， ，即 ，
，其中 ；
（2）答案不唯一．例如：小明家离学校 ，每天以 的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间 ．
三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
答案：r=1
S=πr²=π
四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2， ），且P（ ，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
图11
图12
解：（1）设正比例函数解析式为 ，将点M（ ， ）坐标代入得 ，所以正比例函数解析式为
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为 ，
于是 ，
而 ，
所以有， ，解得
所以点Q的坐标为 和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（ ， ）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为 ，
由勾股定理可得 ，
所以当 即 时， 有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与 同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝ ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
．
五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．
(1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
勾股定理：
一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步： ＝m；第二步： =k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
解：（1）当S=150时，k= = =5，
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；
（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，
而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
其面积S= （3k）·（4k）=6k2，
所以k2= ，k= （取正值），
即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
答案：C
三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的 处目测得点 与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，且A与B相距 米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
20米
乙
C
B
A
甲
10米
？米
20米
答案：40米
四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同侧， 、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 ，向 、 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ 与直线 垂直，垂足为 ）， 到 、 的距离之和 ，图（2）是方案二的示意图（点 关于直线 的对称点是 ，连接 交直线 于点 ）， 到 、 的距离之和 ．
（1）求 、 ，并比较它们的大小；
（2）请你说明 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
B
A
P
X
图（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图（3）
B
A
P
X
图（2）
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝
S1＝
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又BC＝40
∴BA'＝
由轴对称知：PA＝PA'
∴S2＝BA'＝
∴ ﹥
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'
∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B
∴S2＝BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B'＝
∴所求四边形的周长为
D
C
E
B
G
A
F
五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求AB的长．
解：（1）证明： 于点 ，
D
C
E
B
G
A
F
．
，
．
连接 ，
AG＝AG,AB＝AF，
．
．
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
．
．
，
．
．
四边形：
一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
E
F
D
A
B
C
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.
∴∠FBE = ∠CBA.
∴△FBE ≌△CBA.
∴EF = AC.
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD = AD = AC.
∴EF = AD.
同理可得AE = DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.
二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
解：（1）（选证一）
（选证二）
证明：
（选证三）
证明：
（2）四边形ABDF是平行四边形。
由（1）知， 、 、 都是等边三角形。
（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。
三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵ DE∥AC，DF∥BC，
图7
∴ 四边形DECF为平行四边形，
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ □DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋ PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM= PE ∴PE= PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
（2）解：由题意知AE= BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时（如图1）
过点Q做QH⊥AD于点H QH= PQ= x
由（1）得PD=BE- PQ=4- x
∴y= PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’= x
过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ= PQ ∴BE= PQ-PD
∴PD= x-4 y= PD·QH’=
（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC= =4 ∴cos∠DPC= = ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN= PD=1
QC= = ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC
∴ ∴PG= =
五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
解：如图所示
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD
∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90°
∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE
又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE
∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45°
∴∠EAD=45°
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
图（1）
图（2）
解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴ ,∴EF=5,∴S△EFG= EF·EG= ×5×10=25.
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；
连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE= =8 ，∴BO=4 ，∴FG=2OG=2 =4 。
八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
解：（1）所作菱形如图①、②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；
连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．
四边形E1F1G1H1即为菱形．
图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；
以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；
连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
A
B
C
P
D
E
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
A
B
C
D
P
E
1
2
H
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
A
B
C
P
D
E
F
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=x，AC= ，
∴ PC= - x，PF=FC= .
BF=FE=1-FC=1-( )= .
∴ S△PBE=BF·PF= ( ) .
即 (0＜x＜ ).
② .
∵ ＜0，
∴ 当 时，y最大值 .
（1）证法二： A
B
C
P
D
E
F
G
1
2
3
① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵ PB=PE，
∴ BF=FE，
∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴ PE=PD.
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD.
（2）①∵ AP=x，
∴ BF=PG= ，PF=1- .
∴ S△PBE=BF·PF= ( ) .
即 (0＜x＜ ).
② .
∵ ＜0，
∴ 当 时，y最大值 .
十：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结 、 ，且a=3，b=2，k= ，求 的值．
解: (1)①
② 仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形 、四边形 都是正方形
∴ ， ，
∴
∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2） 成立， 不成立
简要说明如下
∵四边形 、四边形 都是矩形，
且 ， ， ， ( ， )
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵ ， ，
∴ ∴
数据的分析：
一：4．为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图.
（1）九年级学生人均存款元；
（2）该校学生人均存款多少元？
（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%
（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。
解：（1）240
（2） 解法一：
七年级存款总额：400×1200×40％ = 192000（元）
八年级存款总额：300×1200×35％ = 126000 （元）
九年级存款总额： 240×1200×25％ = 72000 （元）
（192000+126000+72000）÷ 1200 = 325 （元）
所以该校的学生人均存款额为 325 元
解法二： 400×40％ + 300×35％ + 240×25％ = 325 元
所以该校的学生人均存款额为 325 元
（3）解法一： （192000+126000+72000）×2.25％ ÷351= 25（人）
解法二： 325×1200×2.25％÷351 = 25（人）。
二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。
解：（1）如表所示：
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
⑵ ①乙；②甲
⑶ 从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好。
三：如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
2002 2003 2004 2005 2006 年
6
5
4
3
2
1
万人
A
B
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系 ．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2) ＝ ＝3（万元）
＝ ＝3（万元） ＝ [(-2) ＋(-1) ＋0 ＋1 ＋2 ]＝2
＝ [0 ＋0 ＋(-1) ＋1 ＋0 ]＝
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得 5－ ≤4 解得x≥100 100-80＝20
答：A旅游点的门票至少要提高20元。
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