高中数学导数题 求解●﹏●

Question

如题所述

Answer 1

f′(x)=[a/(a+1)]-[2/(1+x)²]
=(ax²+a-2)/(ax+1)(1+x)²
(1)a=1时，f'(1)=(1+1-2)/(1+1)*(1+1)^2=0
f(1)=ln2
故过(1,f(1))的切线方程是y=ln2
(2)
∵x≥0
a>0
∴ax+1>0
①当a≥2时
在区间（0，+∞）上f′（x）>0
②当0<a<2时，由f′（x）>0解得x>√[(2-a)/a]
由f′(x)<0解得x<√[(2-a)/a]
∴f（x）的单调减区间为(0,√[(2-a)/a])，单调增区间为(√[(2-a)/a],+∞)
(3)
当a≥2时，由上述②中知：f（x）的最小值为f（0）=1
当0<a<2时，由上述②知，f(x)在x=√[(2-a)/a]处取得最小值f(√[(2-a)/a])<f(1)=1
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞)

Answer 2

(1)a=1时，f'(1)=(1+1-2)/(1+1)*(1+1)^2=0
f(1)=ln2
故过(1,f(1))的切线方程是y=ln2
（2）求导函数，可得
f′(x)=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得
x＞√[(2-a)/a，由f'（x）＜0解得x＜√[(2-a)/a，∴f（x）的单调减区间为(0,√[(2-a)/a])，单调增区间为(√[(2-a)/a],+∞)
（3）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在
x=√[(2-a)/a处取得最小值
f(√[(2-a)/a)＜f（0）=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．