微分：是当自变量x变化了一点点（dx）而导致了函数（f(x)）变化了多少。 比如，国民收入Y=f(c)，c是消费，那c变化了dc时，会导致Y变化多少呢？变化dY，这就是微分，而dY/dc就是这个单变量函数的导数。把微分dY视为dx的线性函数，那么导数就是这个线性函数的系数：注意，这个视角甚至可以推广到微分流形、泛函，等你以后深入学习到更高的层次就会知道，在这里打个伏笔。 差分：粗糙地讲，就是离散化的微分，即y。当变化量很微小时，就近似看成dy。 变分：应该是指泛函的变分吧，这里就不扯什么functional analysis里的banach空间微分理论了，简单说下，泛函是将函数空间映射到数域，就是，把一个函数映射成一个数。打个比方，从A点到B点有无数条路径，每一条路径都是一个函数吧。这无数条路径，每一条函数（路径）的长度都是一个数，对吧？那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的，这就是求泛函的极值问题。有一种老的叫法，函数空间的自变量我们称为宗量（自变函数），当宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少，这其实就是变分。变分，就是微分在函数空间的拓展，其精神内涵是一致的。求解泛函变分的方法主要有古典变分法、动态规划和最优控制。我建议数学功底好的同学亲自去看看《非线性泛函分析》的书，数学实在不行的同学，仔细看看有关变分法或最优控制理论的书籍！建议在校同学有条件的最好自己多去图书馆看看，尽量少花时间在网络上问问题。
微分和差分的关系就像函数与数列的关系，函数值是连续的，而数列是离散的。变分、泛函的定义域为一个无限维的空间：曲线的空间。泛函的增量的线性部分称为其微分。泛函的微分又称其为变分，其中微变量h（δq）称为力学。——《经典力学的数学方法》简单的说，泛函是一种特殊函数，其定义域为函数f(x)，值域一般为实数，正常的函数（值->值）到值的映射，而变分即泛函的微分中（注意不是导数）舍去了无穷小项O（h^2）的剩余线性部分项。
设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx0+o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
