分段函数分段点求导一定要用定义法吗

Question

如题所述

Answer 1

当然不是，只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。
比如说x
=a时y=g(x)=2x+1
对于这种情况，根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x=a是f(x)的间断点，这里的左导数要另外算；但是x=a不是g(x)的间断点，完全可以直接按表达式来求右导数

Answer 2

如果分段函数在分段点处是连续的，则可以套用求导公式求左右导数。你给出的题目是符合这一点的，所以你的第二种方法是正确的！
如果分段函数在分段点处不连续，在分段点处的左右导数不能套用求导公式。但是如果右连续，则右导数可以套用求导公式，如果左连续，则左导数可以套用求导公式。关键就是使用导数定义的时候带入的函数值是在本分支上，还是在另外分支上。
以你的题目为例，
求x＝0处的右导数时，使用右分支sinx，sinx本身在x＝0处可导，导数是cos0＝1。sinx作为f(x)的右分支，在x＝0处连续，所以f(x)的右导数就是sinx在x＝0处的导数。
用定义求x＝0处的左导数时，带入的函数值是f(0)＝sin0＝0，虽然f(0)在x≥0的分支上，但是x＜0的分支也满足f(0)＝0，所以带入的函数值f(0)也可以看作x＜0的分支在x＝0处的值，此时用定义求导数与直接用公式求导是一样的。