高数问题

Question

二阶线性常系数非齐次方程的y''+py'+qy=Pn(x)e^αx的特解中的Qn(x)怎么确定，书上说是x的n次多项式，可我看每道题里面的都不一样，请问这个怎么确定，（还有另外一种带三角函数的形式里面也有这样的东西，）我是自学的，麻烦讲仔细点，懂了另加分。
我就是看书的，看不明白这点，我知道要根据与特征根的关系来求，但求出来之后的那个式子里面的Pn(x)如何确定

Answer 1

首先是把齐次方程的特征方程的根先求出来

也就是r^2+pr+q=0的根算出来，包括复数根也求出来

然后你看Pn(x)e^αx中的α是否是特征方程的根

1，如果不是就假设特解为Qn(x)e^αx

2，如果是特征方程的单根就假设特解为x*Qn(x)e^αx

3，如果是特征方程的重根就假设特解为x^2*Qn(x)e^αx

然后把你假设的特解带入非齐次方程y''+py'+qy=Pn(x)e^αx中

确定Qn(x)中的系数,比如Q(x)是一个3次的多项式,那我就假设Q(x)=b3x^3+b2x^2+b1x+b0

根据待定系数法,带入方程,一个一个把b0,b1,b2,b3都求出来!

注:Qn(x)和Pn(x)都是n次多项式

Answer 2

你说的n次项不一致指的应该是Pn(x)的构成，这与y''+py'+qy=0的特征根是否包含e^αx中的α，以及是否为多重根有关，具体得可以参考同济大学高等数学下册中微分方程相关内容，我只记得大概，不能给你详细解答了，不好意思。