定积分怎么求旋转体体积?

如题所述

定积分求旋转体体积如下:

一.套筒法

套筒法,顾名思义,就是将图形绕Y轴旋转所得的形状像套筒一样,所以起名叫做套筒法,那么应该怎么使用,公式又是什么呢?先不要着急,我们来看看一个案例,然后思考公式,这样更能容易理解和记住。

比如上面函数f(x),取微元[x,x+dx]∈[a,b]绕Y轴旋转,把它看作是宽度为dx,高度为f(x)的小薄片绕Y轴旋转就形成了像戒指一样的环形圈,这个环形圈的宽度是dx,高度为f(x),而周长就是2Πx,把它展开就形成了下面的长方体。

上面只是函数旋转体积的一个微元,所以需要在函数的区间进行积分后才是它最终的体积。

二.圆盘法

圆盘法,也是一样只不过不是绕Y轴旋转,而是绕X轴旋转,更像是车轮。那么我们不如就用轮胎举例,看下面的函数,取[x,x+dx]∈[a,b]绕X轴旋转,把微元部分想象成一个轮胎,轮胎的宽度为dx,半径为f(x),所以这个轮胎的微元体积就是下面公式的积分上下限后面的部分。

三.二重积分法

其实二重积分法与上面的相比有很多优点,上面两种方法只能在特定的条件下使用,而下面这个二重积分法可以囊括上面的两个。

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