从生产函数推导成本函数

Question

已知长期生产函数为Q=1.2A(0.5次方)B(0.5次方)，A、B为投入的生产要素，价格分别为1美元、9美元，试推导长期总成本函数

Answer 1

均衡的时候，我多花一块钱，去买a或b要素，产出的增加量应该相等（否则就可以选择更划算的要素，直至一样）。a和b要素的边际产出分别为0.6(b/a)^0.5和0.6(a/b)^0.5，而多花1块钱，可以买1单位a或1/9单位b，因而有：
1*0.6(b/a)^0.5=1/9*0.6(a/b)^0.5
整理得到：a=9b
即长期均衡时a要素的数量应是b的9倍
我们假设长期常量为q，则q=1.2(ab)^0.5=3.6b（将a=9b代入）
解得b=q/3.6
最后算成本，为两种要素价格与数量乘积的和：
c=1*a+9*b=18b=5q（将b=去/3.6代入）
c=5q就是长期成本函数，为线性函数，即增加一单位产量，成本增加5美元。

Answer 2

生产函数反映的是一定时期内各种生产要素投入量与产出量之间的物质技术关系；而成本函数则反映着成本与产量之间的变化关系，它是由生产函数以及投入的生产要素价格决定的。由于在短期中，给定的生产规模实际上是为求得最低成本而设置的，在长期中，每一种生产规模都是最低成本的规模，于是，成本函数的确定，实际上可以转化为在给定产量情况下确定最低成本的问题。如果给定企业的生产函数，那么总可以求出相应的成本函数。

例如设生产函数为Q=f(L，K)，TC=LPL+KPK，则我们可以利用使既定产量下成本最小的厂商均衡条件MPPL/PL=MPPK/PK求出K与L的关系式，或者将以上问题转化成求minTC=LPL+KPK，S.t.Q=f(L，K)，利用拉格朗曰函数分别对L、K及所设的λ求偏导，得出K与L的关系式，然后分别代入生产函数中求出L(或K)与产量Q的关系，最后代入所设成本函数中即可求得成本函数。

Answer 3

生产函数与成本函数是微观经济学中两个重要的概念,它们分别是从实物形态和货币形态讨论厂商生
产行为的两个方面.在生产过程中假定技术水平保持不变,则生产取决于要素投入.即生产过程中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系就是生产函数.因而生产要素的投入量与要素价格完全决定了生产成本.在完全竞争的条件下,要素价格是既定不变的,因而生产要素直接沟通了生产函数与成本函数的关系。
在生产函数的图像中来看，如果把其坐标系整个逆时针旋转90度，此时把横轴当作产量，纵轴就是生产的成本，这样一来就形成了总变动成本曲线（tvc）。这样的生产函数和成本函数二者是对偶的逻辑关系！

Answer 4

生产函数代表了产量与投入的要素之间关系，比如需要投入多少工时等。但每个工时需要多少报酬，生产函数本身是不能体现的。
成本函数就需要关心每个工时需要多少报酬了。