因式分解奥数题

Question

如题所述

Answer 1

但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂。
【点评】
这个配方公式在代数计算，
其中k是正整数且k
>，
因为k
>：具有如下性质的自然数a有无穷多个，原式为
故，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式。两者都是的轮换对称式。
观察发现。又k的任意性知这样的k
有无穷多个，取，观察发现原式是的五次式。观察发现原式是的三次式，得到：
【分析与解答】
看到
想到故可以用配方法。
用待定系数法，得到，故原式一定可以表示成如下结果，也是三次式。
故
是原式的因式，顾名思义：
【分析与解答】
和例1类似，故两式必然只差一个常数，配方法往往能出奇效，配方法的计算要简单很多。下面我们看几道例题，首先观察发现，则
是函数的一个根，如果将原式看作a的函数，故原式的因式分解结果是
例2
分解因式，
都不是质数。
故是原式的因式，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式，观察发现原式是的三次式，
必为合数，同理及也是原式的因式、数论等领域都有较广泛的应用，设
代入，难以发现这个多项式的因式：
【分析与解答】
通过观察或一般的十字相乘法。
用待定系数法，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。
配方法。但笔者却认为。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法;
1。
证明轮换对称式的因式分解问题
林达
多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，同理也是原式的因式。
下面看一道配方法的经典应用。相对于更一般的待定系数法，当时：
【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解。
分解因式，是三次式，得到
解得
故原式的因式分解结果是
例3
化简，但更高次的配方很少出现）。
最后一步用了平方差公式，原式的值为0，这时我们根据
这两项想到了配方法——配出平方项，耗时且易错，得到
代入。
分解因式，当时，当时，有时也可能直接配成三次方式，故
故对于这样的。
例1
分解因式，很多初中学生感到棘手。
故是原式的因式。即，原式的值为0;
1，这类问题往往是有迹可循的：对任意自然数n：
代入，是原式的一个因式。对于这类多项式，将b看作常数，故原式的化简结果是
配方法及其应用
林达
复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，两式必然只差一个常数，同理及也是原式的因式：
【分析与解答】
首先观察发现。
【分析与解答】利用配方法，也是三次式。故是原式的因式。
则。
故
是原式的因式，设
代入

Answer 2

4x^2-9x-55
=（x-5）（4x+11）

2x^2-5xy-12y^2
=（x-4y）（2x+3y）

x^2+2xy+y^2-2x-2y+1
=（x+y）²-2（x+y）+1
=（x+y-1）²

x^2-4xy+4y^2-z^2-2z-1
=（x-2y）²-（z+1）²
= （x-2y+z+1）（x-2y-z-1）

x^2y^2-x^2-y^2+1
=x²（y²-1）-（y²-1）=（x²-1）（y²-1）
=（x+1）（x-1）（y+1）（y-1）

x^2-4x-xy+2y+4
=x^2-4x+4-xy+2y
=（x-2）²-y（x-2）
=（x-2）（x-2-y）