X与Y不相关与不独立是什么关系

Question

X与Y不相关与不独立是什么关系

Answer 1

独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思。但两者是有区别的。

结论：
（1）X与Y独立，则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关，则X与Y不一定独立

证明：
（1）由于X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即X，Y不相关。

（2）反例：
X=cost,Y=sint，其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量。
易得X和Y不相关，因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)

但是他们是不独立的。
因为：
X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值，但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值，所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立。