高等数学的一道计算题，为什么我算出的结果与参考答案不一样？
同济高数上册P254第(8)题，我通过令x=cosu，得到了如左图所示的结果。然而，参考答案则是通过令x=sinu，得到如右图所示的结果。我的结果和参考答案之间相差了一个负号。我检查了半天也没找出来到底是哪里漏乘了一个负号，只好在此问一下大家。如果有好心人帮忙解答，我会非常感激。谢谢！
😳问题 : 计算 ：∫(1/√2->1) √(1-x^2)/x^2 dx
👉定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
∑(i:1->n) f(ξi)△xi
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分
要解决这个问题，要有一些『三角代换』
『例子一』： ∫√(1-x^2) dx ： 令 x=sinθ
『例子二』： ∫√(1+x^2) dx ： 令 x=tanθ
『例子三』： ∫√(x^2-1) dx ： 令 x=secθ
👉： 回答
令 x=sinθ
两边求微分
dx = cosθ dθ
上下限的置换
当 x=1/√2，θ=π/4
当 x=1，θ=π/2
∫(1/√2->1) √(1-x^2)/x^2 dx
代入上面置换
=∫(π/4->π/2) [cosθ/(sinθ)^2] [cosθ dθ]
cotθ=cosθ/sinθ
=∫(π/4->π/2) (cotθ)^2 dθ
(cotθ)^2=(cscθ)^2 -1
=∫(π/4->π/2) [(cscθ)^2 -1] dθ
=-[cotθ+θ]|(π/4->π/2)
代入积分上下限
=（1+π/4）-（0+π/2）
=1-π/4
😄: 结果 ∫(1/√2->1) √(1-x^2)/x^2 dx =1-π/4
π/4 到 0， 化为 0 到 π/4，积分 前面要加负号。本回答被提问者采纳