设函数f（x）=log2（4-x），g（x）=log2x．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）+g（x）的值域；（3）如

Question

设函数f（x）=log2（4-x），g（x）=log2x．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）+g（x）的值域；（3）如果对任意的x∈[1，4]不等式（4-2g（x））?f（4-x）-k≤0求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）要使f（x）的解析式有意义，
自变量x须满足：4-x＞0，
即x＜4，
故f（x）的定义域为（-∞，4）；
（2）y=log₂x+log₂（4-x）中，x＞0且4-x＞0，
故f（x）+g（x）的定义域是（0，4）；
∵函数y=log₂x+log₂（4-x）=log₂[x（4-x）]
∵0＜x＜4，
∴0＜x（4-x）≤4
∴log₂[x（4-x）]≤2，
∴函数y=log₂x+log₂（4-x）的值域为（-∞，2]．
（3）若不等式（4-2g（x））?f（4-x）-k≤0对任意的x∈[1，4]恒成立，
则k≥（4-2g（x））?f（4-x）对任意的x∈[1，4]恒成立，
令y=（4-2g（x））?f（4-x）
=（4-2log₂x）?log₂[4-（4-x）]
=-2log²₂x+4log₂x，x∈[1，4]，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
则y=-2t²+4t，t∈[0，2]，
由于y=-2t²+4t的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当t=1时，函数取最大值2，
故k≥2，
故实数k的取值范围为[2，+∞）