旋转体体积怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π，

故所求旋转体体积

V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ

= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ

= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)

= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3

扩展资料：

极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。

Answer 2

旋转体体积公式是V=π ∫[a,b]f(x)^2dx，其中V表示体积，f(x)表示函数f(x)的值，a、b分别是积分区域的左右端点坐标。绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π ∫[a,b]φ(y)^2dy。或许你说的是V=2π ∫[a,b]yf(y)dy，也是绕x轴旋转体积。旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍，即V=2
∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy，=8bπ
∫(0,R)xdy。令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])。则V=8bπ ∫(0,π/2)RcosaRcosada。

Answer 3

用三重积分法来求。