高数，提示用泰勒公式展开证明。也可以证明这题是错题，并改正这题中的条件再证明。

Question

函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1, d(f(x))/dx 在x=0 处为0，证明在开区间（-1，1）内至少有一点x0，使得f(x)在该处的三阶导数为0.

Answer 1

结论应该是：
在开区间（-1，1）内至少有一点x0，使得f(x)在该处的三阶导数为3

证明如下：

证明：

将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!
=f(0)+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!, η ∈(0,x) （∵f'(0)=0）

代入x = -1 , 1, 它们分别相应有ξ1, ξ2
∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!, -1<ξ1<0
1=f(1)=f(0)+f''(0)/2!+f'''(ξ2)/3!, 0 <ξ2< 1

两式相减，得
f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6

∴存在两种情况：
a). f'''(ξ1)=f'''(ξ2)=3
b). f'''(ξ1)和f'''(ξ2)一个大于3 ，一个小于3
又函数 f'''(x) 连续
∴可由介值定理知
至少有一点x0∈(ξ1,ξ2)，使得f'''(x0)=3

证毕