(1+1/x)^x的极限是什么？

Question

如题所述

Answer 1

(1+1/x)^x的极限是e，解法过程如下：

(x→∞) lim(1+1/x）^x

=lime^xln(1+1/x) 

因为x→∞，所以1\x→0

用等价无穷小代换ln(1+1/x) =1\x

当(x→∞) lim(1+1/x）^x

=lime^xln(1+1/x)

=lime^x*1/x

=e

求极限基本方法有如下：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用两个特别极限。

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 2

当x趋向无穷大时，(1 + 1/x)^x的极限是e，即自然对数的底数。
这是一个常见的极限，通常用来定义e。它可以通过数学推导或利用数值计算来验证。
一种常用的推导方法是利用自然对数的级数展开式。根据级数展开式，可以证明当x趋向无穷大时，(1 + 1/x)^x趋近于e。
另外，可以通过数值计算来验证这个极限。当x取非常大的值时，计算(1 + 1/x)^x的近似值，并逐渐增大x，可以发现该近似值趋近于e。
综上所述，(1 + 1/x)^x的极限是e。

Answer 3

当 x 趋向于正无穷时，(1+1/x)^x 的极限是 e，其中 e 是自然对数的底数。
这个极限可以通过对 (1+1/x)^x 进行极限运算来证明。我们可以使用连续复利的概念，将 (1+1/x)^x 作为一个复利计算的问题。
当 x 趋向于正无穷时，1/x 趋向于 0，所以 (1+1/x)^x 被看作是频繁复利的情况。根据连续复利的公式，在复利的情况下，我们会有：
lim (1+1/x)^x = e
其中 e 是自然对数的底数，约等于 2.71828。
因此，当 x 趋向于正无穷时，(1+1/x)^x 的极限是 e。

Answer 4

当我们计算 (1 + 1/x)^x 的极限时，我们可以使用极限的性质和一些数学技巧来求解。
首先，我们可以注意到当 x 趋近于正无穷大时，1/x 趋近于 0。这样，我们可以将极限表达式转化为以下形式：
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x
现在，我们可以应用指数函数的极限性质，即 lim(y→0) (1 + y)^(1/y) = e，其中 e 是自然对数的底数。
将 y = 1/x，我们可以将极限表达式进一步转化为：
lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x = e^lim(x→∞) x * (1/x)
由于 e^0 = 1，lim(x→∞) x * (1/x) = lim(x→∞) 1 = 1。
因此，最终得到：
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^1 = e
所以，当 x 趋近于正无穷大时，(1 + 1/x)^x 的极限是 e，即 2.71828...（自然对数的底数）。

Answer 5

当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限是e，其中e是自然对数的底数。

这个极限可以通过数学推导来证明。我们可以使用极限的定义和指数函数的性质来分析：

当x趋近于无穷大时，我们可以将(1+1/x)^x写成指数形式，即e^(xln(1+1/x))。

接下来，我们可以利用极限的性质和泰勒级数展开来计算这个极限。

ln(1+1/x)可以展开成泰勒级数：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + ...

当x趋近于无穷大时，高次幂的项会趋近于0，因此我们可以忽略掉它们。

所以，ln(1+1/x) ≈ 1/x

将ln(1+1/x)代入到e^(xln(1+1/x))中：

e^(xln(1+1/x)) ≈ e^(x/x) = e^1 = e

因此，当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限是e。