当x趋近于无穷大时，(1+1/ x)^ x的极限是?

Question

如题所述

Answer 1

当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限是e，其中e是自然对数的底数。

这个极限可以通过数学推导来证明。我们可以使用极限的定义和指数函数的性质来分析：

当x趋近于无穷大时，我们可以将(1+1/x)^x写成指数形式，即e^(xln(1+1/x))。

接下来，我们可以利用极限的性质和泰勒级数展开来计算这个极限。

ln(1+1/x)可以展开成泰勒级数：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + ...

当x趋近于无穷大时，高次幂的项会趋近于0，因此我们可以忽略掉它们。

所以，ln(1+1/x) ≈ 1/x

将ln(1+1/x)代入到e^(xln(1+1/x))中：

e^(xln(1+1/x)) ≈ e^(x/x) = e^1 = e

因此，当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限是e。