一道数论题

Question

求6x+15y+20z=1的整数解。
并且a,b,c在什么情况下能是ax+by+cz=1有整数解？
如果有的话，有什么一般方法可以求得？

Answer 1

6x+15y+20z=1 => 6x+5(3y+4z)=1
设3y+4z=w,那就是6x+5w=1.很容易找到一组解，x=1,w=-1.
假设另一组解为x',w'，6x+5w=6*1+5*(-1)=>6(x-1)=5(-1-w),等式两边必然是30的倍数，假设为30k,k=0,+/-1,+/-2....，所以x=5k+1,w=-1-6k。
剩下的就是3y+4z=-1-6k,类似前面的步骤，如果y1,z1和y2，z2都是整数解，那么3y1+4z1=3y2+4z2=>3(y1-y2)=4(z2-z1)，这个肯定是个12的倍数，所以有3(y1-y2)=4(z2-z1)=12l,y1=4l+y2,z1=z2-3l。
不难看出3y+4z=-1-6k有一组特解y=1-2k,z=-1,所以通解的公式就为:
1-2k+4l,-1-3l，
所以原方程的通解表达式为x=5k+1,y=1-2k+4l,z=-1-3l，其中k,l独立地取遍所有整数。

一般情况比较难，暂时没想到什么招。 但是对于a,b,c都为有理数的情况，还是容易搞定的。
首先考虑简单一点的情况ax+by=p，a,b,p都为整数，下面证明，这个方程有整数解的充分必要条件是a,b的最大公约数也是p的约数。
首先证明必要性，设a,b最大公约数为k，若方程有整数解，显然ax+by能被k整除，所以p也能必须被k整除。
再证充分性，也就是只要a,b最大公约数也为p的约数，那么ax+by=p就有整数解。假设a,b最大公约数为k,p=nk,a=a_k*k,b=b_k*k，a_k与b_k互质。那么原方程就可以化为a_k*x+b_k*y=n，这个方程一定有整数解。首先，如果n>b_k，那么把n换成m，其中m是n除以b_k的约数（显然m<b_k），这样就是要证明a_k*x+b_k*y=m有整数解（请自行证明这与证明a_k*x+b_k*y=n是等价的）。要证明这个，就等价于要证明存在整数x，使得a_k*x除以b_k余数为m(不用担心a_k和b_k正负号的情况，因为我们可以调整x,y的符号)。令x分别取0,1,2...b_k-1，在这b_k个取值时，a_k*x除以b_k的余数是各不相同的(否则假设a_k*m和a_k*n除以b_k余数相同，那么a_k*(m-n)能被b_k整除，但是a_k和b_k互质，而且（m-n）<b_k，也不可能是b_k的倍数，所以矛盾)。所以这b_k个余数中，必有一个等于m。这就证明了a_k*x+b_k*y=m有整数解，也就是ax+by=p有整数解。

再看三个未知数的情况，ax+by+cz=p(p=1就是楼主问的情况)，由前面的结论，不难得出，当且仅当a，b，c的最大公约数也是p的约数，方程有整数解。如果p=1，那就是a,b,c最大公约数为1。比如上面那道题，6,15,20最大公约数为1。

如果a,b,c,p都为有理数，那么很容易把问题化为上述整数的情况进行判断。

如果可以判断出有整数解，那么可以像上面那道题一样，先找到一组特解，然后再扩充成通解。

如果是a,b,c,d只是一般的实数，则似乎没有什么规律可循了。

Answer 2

若有解，分析得y必为奇数，15y的末尾数为5，（6X+20Z）的末尾数可能有：0,6,2,8,4。要使结果为1，有两种情况，6-5=1或者5-4=1。可求解(1,-3,2)，(-4,7,-4)，(-9,5,-1)，(6,-5,2)，(11,-7,2)，(16,-9,2)很多啊！当a，b，c，不全为偶数时，方程有整数解。视具体情况算好末位数，定一求二了。
呵呵…都出来工作了，很久没接触数学，更不用说数论了。以前很喜欢数学，如果有兴趣，推荐看一些数论基础知识讲解类的书还有奥数，学习有余力去看吧！别耽误正规学习，要不得不偿失的。