6阶麦克劳林公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

麦克劳林公式是一种将一个函数展开成无穷级数的方法，它的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ(a)(x-a)^n/n! + Rₙ(x)
其中，f(a) 是函数在点 a 处的函数值，f'(a) 是函数在点 a 处的导数，f''(a) 是函数在点 a 处的二阶导数，以此类推，Rₙ(x) 是余项，表示展开式的误差。
对于一个光滑的函数，可以使用麦克劳林公式来展开成泰勒级数，而泰勒级数是麦克劳林公式的一种特殊情况，即 a=0。
那么，6阶麦克劳林公式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + f⁽⁴⁾(a)(x-a)^4/4! + f⁽⁵⁾(a)(x-a)^5/5! + f⁽⁶⁾(a)(x-a)^6/6! + R₆(x)
其中，f⁽⁴⁾(a) 表示函数在点 a 处的四阶导数，f⁽⁵⁾(a) 表示函数在点 a 处的五阶导数，f⁽⁶⁾(a) 表示函数在点 a 处的六阶导数，R₆(x) 是余项，表示展开式的误差。
希望对你有帮助

Answer 2

f(x)=lncosx

则f(0)=0

f'(x)=-tanx，f'(0)=0

f''(x)=-(secx)^2

f''(0)=-1

f'''(x)=-2(secx)^2·tanx

f'''(0)=0

f(4)(x)=-4(secx)^2·(tanx)^2-2(secx)^4

=-6(secx)^4+4(secx)^2

f(4)(0)=-2

f(5)(x)=-24(secx)^4·tanx+8(secx)^2·tanx

f(5)(0)=0

f(6)(x)=-96(secx)^4·(tanx)^2-24(secx)^6+16(secx)^2·(tanx)^2+8(secx)^4

f(6)(0)=-16

所以，6阶麦克劳林公式为

f(x)=-1/2·x^2-1/12·x^4-1/45·x^6+o(x^6)