如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线

Question

如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若 ∠F= ，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。

Answer 1

（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点， ∴∠BOD=∠A。 ∴OD∥AC。 ∵EF⊥AC， ∴∠E=90°。 ∴∠ODF=90°。 ∴EF是⊙O的切线； （2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F= ，AE=4， ∴ 设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R． 在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F= ， ∴OF=3OD=3R。 ∵OF+OA=AF， ∴3R+R=12， ∴R=3。 连接BC，则∠ACB=90°。 ∵∠E=90°， ∴BC∥EF。 ∴AC：AE=AB：AF。 ∴AC：4=2R：4R， ∴AC =2 ∴⊙O的半径为3，AC的长为2。