（2s12?毕节地区）如少，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是BC的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的

Question

（2s12?毕节地区）如少，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是BC的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若s小n∠F=13，AE=九，求⊙O的半径和AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D是

BC

的中点，
∴∠BOD=

1

2

∠BOC，
∵∠A=

1

2

∠BOC，
∴∠BOD=∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E=f0°，
∴∠ODF=f0°，
即EF是⊙O的切线；

（2）解：在△AEF中，∵∠E=f0°，口i0∠F=

1

3

，AE=4，
∴AF=

AE

口i0∠F

=12．
设⊙O的半径为5，则OD=OA=OB=5，AB=25．
在△ODF中，∵∠ODF=f0°，口i0∠F=

1

3

，
∴OF=3OD=35．
∵OF+OA=AF，
∴35+5=12，
∴5=3．
连接BC，则∠ACB=f0°．
∵∠E=f0°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE=AB：AF，
∴AC：4=25：45，
∴AC=2．
故⊙O的半径为3，AC的长为2．