如何证明cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

Question

预习的时候看到这个还有一堆公式不会推导，求帮助（禁向量=-=）

Answer 1

如图，角α和β，左右两个园中α-β对应的弦的距离d应该相等，根据点坐标j计算距离有

左图d²=(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²

右图d²=[cos(α-β) - 1]²+[sin(α-β) - 0]²

上边两式相等，化简，有

(cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = (cos(α − β) − 1)² + (sin(α − β) − 0)²

cos²α − 2cosα cosβ + cos²β + sin²α − 2sinα sinβ + sin²β = cos²(α−β) − 2cos(α−β) + 1 + sin²(α−β)

(cos²α + sin²α) − 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) + (cos²β + sin²β) = [cos²(α−β) + sin²(α−β)] − 2cos(α−β) + 1

2 − 2 (cosα cosβ + sinα sinβ) = 2 − 2cos(α−β).

=>

cos(α-β)=cosα·cosβ + sinα·sinβ

替换β = -β，有

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

Answer 2

向量和单位圆，这两个知识块，有概念吗？有的话用向量证明。

Answer 3

这是我以前回答过的，仅供参考：http://zhidao.baidu.com/question/571490152.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-1439264805追问

似乎可以，但抱歉关于具体步骤不太理解，可以做进一步解释吗，我可以提高悬赏

追答

已经解释得非常清楚了！

如上图所示，这是一个半径为 1 的单位圆。
AB^2=OA^2 + OB^2 - 2*OA * OB * cos(α-β) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(α-β) = 2 - 2 *cos(α-β)
根据勾股定理，
AB^2 = DE^2 + CF^2
= (OD - OE)^2 + (OF + OC)^2
= (OA * sinα - OB * sinβ) ^2 + (OB * cosβ - OA * cosα)^2
…………

如果楼主连这两个最最基本的三角函数公式也看不懂的话，那么我真的没辙了！

追问

实在抱歉，但是我是自己在预习，还是有些看不懂，请问能将这道题中的两个初始公式列出来吗？谢谢！

追答

勾股定理是在初中学的，直角三角形 斜边的平方 等于 两直角边的 平方和。用公式表示就是：

c^2 = a^2 + b^2

这是直角坐标系的根本；

另一个公式是普通三角形三边的关系。应该是在高一 三角函数 一章刚开始就学到的：

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

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