cos(α＋β)＝cosαcosβ-sinαsinβ,怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

用向量法可证明.
假设单位圆上有一个点A,它所表示的向量为(cosα,sinα),还有一个点B,表示的向量为(cosβ,sinβ),α和β为它们的夹角.
由向量坐标运算,OA向量与OB向量数量积为cosαcosβ+sinαsinβ
再由向量数量积定义,等于两个向量的模乘以cos夹角,单位圆上模是1,夹角是而所以cos(α－β）=cos(β-α),cos(α－β）＝cosαcosβ+sinαsinβ

Answer 2

已知cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
由于cos(α＋β)中，α与β都是任意角，以-β代替β得：
cos(α＋β)=cos[ α- ( -β ) ]
=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)
=cosαcosβ-sinαsinβ

若未证cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ则:
设单位向量a(cosα,sinα)以及单位向量b(cosβ,sinβ)
由于b与a向量夹角为α-β,则有
ab=|b||a|cos(α-β)=cos(α-β),带入坐标可得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinβsinα ①
令①式中的-β=β则有
cos(α+β)=cosαcos(-β)+sin(-β)sinα
由诱导公式易得
cos(α+β)=cosαcos-sinαsinβ
得证

Answer 3

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Answer 4

我不知道你问我我问谁

Answer 5

两角和的余弦公式：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
(思路:在直角坐标系的单位圆中,根据两点间的距离公式来推导)
作∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α.
则B（cosβ,-sinβ）；D（1,0）；A（cosα,sinα）；
C[cos（α+β）,sin（α+β）].
∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB.
∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；
=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；
=2-2 cos（α+β）.
AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ