用换元法求不定积分

Question

用换元法求不定积分

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

第二题可以用二种方法求不定积分。

1、用换元法求不定积分，求解过程见上图。

2、第一题，用三角换元法，令x=tant,则换元后，化为t的三角函数的不定积分，此不定积分非常易积分出来，最后，再换成用x表示。

3、第二题的不定积分，也可以用三角换元法求不定积分，令x=sect，就可以求出不定积分。

不过，如果没有方法限制的话，此题用我图中第二张图中的方法更简单。

具体的用换元法求不定积分，求的详细步骤及说明见上。

Answer 3

见下图：

追答

第二题，换元后依然不好积。

Answer 4

(1)

let
x=atanu
dx=a(secu)^2 du
∫ dx/(x^2+a^2)^(3/2)
=∫ a(secu)^2 du/[ a^3. (secu)^3]

=(1/a^2)∫ (cosu)^2 du
=[1/(2a^2)]∫ (1+cos2u) du
=[1/(2a^2)] [u+(1/2)sin2u] +C
=[1/(2a^2)] [arctanu(x/a)+ ax/(x^2+a^2)] +C
(2)
let
x=secu
dx=secu.tanu du
∫ dx/[x+√(x^2-1)]
=∫ [x-√(x^2-1)] dx
=(1/2)x^2 -∫ √(x^2-1) dx
=(1/2)x^2 -∫ secu.(tanu)^2 du
=(1/2)x^2 -∫ secu.[(secu)^2-1] du
=(1/2)x^2 +ln|secu+tanu| -∫ (secu)^2 du
=(1/2)x^2 + ln|secu+tanu| -(1/2)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] +C
=(1/2)x^2 + (1/2)ln|secu+tanu| -(1/2)secu.tanu +C
=(1/2)x^2 + (1/2)ln|x+√(x^2-1)| -(1/2)x.√(x^2-1) +C

//
∫ (secu)^3 du
=∫ secudtanu
=secu.tanu -∫ (secu).(tanu)^2 du
=secu.tanu -∫ (secu).[(secu)^2-1] du
2∫ (secu)^3 du =secu.tanu +∫ secu du
∫ (secu)^3 du =(1/2)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] +C'