单调函数必有单调反函数，不单调的函数是不是一定没有单调反函数？

Question

如题所述

Answer 1

不一定,只有一一映射的函数才有反函数,但反函数不一定是单调函数。比如:y=1/x,它的反函数是它本身,它在定义域内不单调,在大于零上递减,小于零上递增。 是否单调与是否存在反函数没有必然联系。只不过大部分单调函数都有反函数,但有反函数的函数并不一定是单调函数。

一般的，不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指，对于整个定义域而言，函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。

举个例子，反比例函数是一个具有单调性的函数，而不是一个单调函数，因为在反比例函数的定义域上，并不呈现整体的单调性。单调函数只是单调性函数中特殊的一种。

区间具有单调性的函数并不一定是单调函数，而单调函数的子区间上一定具有单调性。具有单调性函数可以根据区间不同而单调性不同。

Answer 2

不一定，不单调的连续函数一定没有反函数，如果只是不单调不能保证它一定没有反函数
例如,
当x<=0时,
f(x)=x;
当x>0时,
f(x)=x-1在定义域R上不单调,
但它有反函数g(x)：
当x<=0时,
g(x)=x;
当x>0时,
g(x)=x+1

Answer 3

单调函数必有单值反函数；
不单调的连续函数没有单值反函数；
如果函数不单调且不连续，则它仍然有可能有反函数，例如：
f(x)定义域为{0,1,2}且f(0)=2,f(1)=0,f(2)=1不单调，但它有反函数。