曲率圆,又称密切圆。在曲线上一点M的的
法线上,在凹的一侧取一点D ,使DM等于该点处的
曲率半径,以D为圆心,DM为半径作圆,这个圆叫做曲线在点处的曲率圆。在点M附近,曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好,所以曲率圆又叫密切圆
定义
设曲线在点处的曲率为,在点处曲线的法线上凹的一侧取一点,使得,以为圆心,为半径做圆,这个圆就叫做曲线在点处的曲率圆,曲率圆的圆心叫做曲线在点处的曲率中心,曲率圆的半径叫做曲线在点处的曲率半径。
曲率圆与曲线在点有相同的
切线和凹向以及相同的曲率,因而在点附近,曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好,所以曲率圆又叫密切圆。[1] 在实际问题中,常常用曲率圆在点邻近的一段圆弧来近似地代替曲线弧,使问题简化。
性质
①曲率圆过点,且在点与曲线相切,即曲率圆与曲线在点有相同的切线。
②在点附近与曲线有相同的凹向。
③曲率圆的曲率与曲线在点的曲率相等。
位置和大小
曲率中心
曲率中心确定曲率圆的位置。
设函数在点处二阶可导,且,曲线在点处的曲率中心为,则:
其中,。
曲率半径
曲率半径确定曲率圆的大小。[2] 曲率半径的大小是曲率的倒数,即:
参考资料
[1] 丁莲珍,钮群,郑苏娟.
高等数学 上.河海大学出版社,2004
[2] 黄
盛清.高等数学 上.中国铁道出版社,1993
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