利用泰勒公式求极限如下：
泰勒公式是一种将函数表示为无限次可导函数的级数的方法。具体来说，对于一个在某个点X0处无限次可导的函数f(X)，泰勒公式可以表示为：
F(X)=f(X0)+f(X0)(x-XO)+f“(XO)(x-X0)*2/2i+f”“(XO)(x-X0)”3/3！+...
其中，f(X0)表示f(X)在X0处的一阶导数，f“(X0)表示f(X)在X0处的二阶导数，以此类推.这个级数可以无限展开，因此可以用来近似计算各种函数的值。
对于一个函数f(X)，如果我们想要求它在某个点X0处的极限，我们可以利用泰勒公式来进行近似计算.具体来说，我们可以将f(X)表示为泰勒级数的形式，然后将x逐渐靠近X0，这样就可以得到f(X)在X0处的极限值。
泰勒公式：
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
历史发展：
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理泰勒定理。
1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。
1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。
泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。
利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。