为什么f(x)有有限个第一类间断点,则其变上限积分连续?

Question

如题所述

Answer 1

只要函数可积，它的变限积分函数就是连续的。

以下三个条件满足任意一个，就可推出f(x)在某闭区间可积：

1、连续。

2、有有限个第一类间断点。

3、有有限个有界振荡间断点。

以上情况均可推出变上限积分函数连续。

介绍

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。

勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。