高等数学，定积分，变上限定积分问题，为什么函数f(x)只有有限个第一类间断点的话，f(x)就可积？

Question

为什么f(x)可积，其原函数F(x)就连续？
答案举的例子是1、0和-1，其原函数是|x|，那比如说取f(x)是e^x(x＞0)，0和-1，这样的话原函数F(x)是e^x(x＞0），-x(x＜0)，这个不连续呀

Answer 1

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首先解答第一个问题为什么f(x)只有有限个第一类间断点的话f(x)可积？

其实这句话是错的。定积分存在定理说，如果f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点，那么f(x)在[a,b]内的定积分存在。重点在于有界。这道题说，除了x=a是跳跃间断点，f(x)处处连续，那么都有，任意实数c<d，f(x)在[c,d]之间有界，所以f(x)可积，可积必有界。

第二个问题，为什么f(x)可积，原函数F(x)连续？

其实这句话是错的。第一个问题里说了，可积的情况可能含有有限个间断点。根据原函数存在定理，含有第一类间断点和无穷间断点的函数，在包含该间断点的区间内没有原函数。需要提醒题主的是，f(x)的变上限积分函数F(x)，不等于f(x)的原函数；变上限积分函数存在，仅仅叫做可积（定积分存在），与原函数存在是两回事。例如，答案给的-1，0，1，|x|是其变上限积分函数的结果，不是其原函数。

正确的讲法是，可导必连续，但连续不一定可导。如果F(x)可导，那么F(x)一定连续，F(x)的导函数f(x)存在，所以说f(x)的原函数F(x)存在并且一定连续。

最后，为什么D选项说f(x)可积，则F(x)一定连续？

这是变限积分的一个重要结论：对于变限积分F(x)=∫a f(t)dt，只要它存在，就必然是连续的。

累了，此处省略证明过程。