柯西不等式的证明

Question

我有柯西不等式的证明过程，可是看不懂，谁能帮我解答一下，不胜感激。

Answer 1

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

柯西（Cauchy）不等式

等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=

恒成立

即
当且仅当 即 时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时， 右式 右式
仅当即 即 时等号成立
故 时 不等式成立
（2）假设 时，不等式成立
即
当 ，k为常数， 或 时等号成立
设

则

当 ，k为常数， 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明相关命题
例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。
已知点 及直线
设点p是直线 上的任意一点， 则
（1）
（2）
点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有

由（1）（2）得：
即
（3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式
即

2） 证明不等式
例2 已知正数 满足 证明
证明：利用柯西不等式

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上 得：

故
3） 解三角形的相关问题
例3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，

记 为 的面积，则

故不等式成立。
4） 求最值
例4 已知实数 满足 ， 试求 的最值
解：由柯西不等式得，有

即
由条件可得，
解得， 当且仅当 时等号成立，
代入 时，
时
5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程

解：由柯西不等式，得
①

又

即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

它与 联立，可得

6）用柯西不等式解释样本线性相关系数
在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数 ，并指出 且 越接近于1，相关程度越大， 越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记 ， ，则，
，由柯西不等式有，
当 时，
此时， ， 为常数。点 均在直线
上，
当 时，
即
而

为常数。
此时，此时， ， 为常数
点 均在直线 附近，所以 越接近于1，相关程度越大
当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点 都在直线 附近。所以， 越接近于0，则相关程度越小。

参考文献： 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期
柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社
普通高中解析几何 高等教育出版社
1990-年全国统一考试 数学试卷
李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社
盛聚，谢式千，潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版
用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期

Answer 2

要使等号成立的话，就需要△等于零，也就是f(x）等于零的时候，所以可以转化为f（x）等于零本回答被提问者采纳

Answer 3

这个简单f（x）是大于等于0的
原函数是平方和的形式
每项都等于0 才能取到最小值0
也就是ax+bx=0了

Answer 4

解疑：后面应该为An*X+Bn=0
然后得出An/Bn＝－1/X
即可得出图中最后一句结论为等号成立的条件
本题还可用另一种更容易理解的方法解答〔n维向量法〕

我也是数学奥赛爱好者啊！能交个朋友不？希望以后能够多多探讨问题！
我的QQ：531159472

Answer 5