证明柯西不等式如下：
1、Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有（∑ai^2） *（∑bi^2）≥（∑ai*bi）^2。令 f（x）=∑（ai+x*bi）^2=（∑bi^2）*x^2+2*（∑ai*bi）*x+（∑ai^2)。则恒有f（x）≥0。
2、用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*（∑ai*bi）^2-4*（∑ai^2）*（∑bi^2）≤0。
3、还可以用向量来证：m=（a1，a2……an）n=（b1，b2……bn）。mn=a1b1+a2b2+……+anbn=（a1^+a2^+……+an^）^1/2乘以（b1^+b2^+……+bn^）^1/2乘以cosX。
4、因为cosX小于等于1，所以，a1b1+a2b2+……+anbn小于等于（a1^+a2^+……+an^）^1/2乘以（b1^+b2^+……+bn^）^1/2。
柯西不等式常见的应用
1、向量和矩阵分析：柯西不等式用于研究向量空间中的向量和矩阵之间的关系。它能够求解向量的模长、向量之间的夹角、向量的投影等问题。在线性代数和向量分析中，柯西不等式为证明和推导许多定理和结论提供了基础。
2、不等式证明：柯西不等式是一种常用的不等式证明方法。通过运用柯西不等式，可以证明和推导各种数学不等式，如均值不等式、洛朗兹不等式等。这种证明方法被广泛应用于数学竞赛和数学推理题目中。
3、概率论与统计学：柯西不等式在概率论和统计学中也有重要应用。它被用来证明和推导随机变量之间的相关性质，如协方差、相关系数等。柯西不等式的应用可以帮助解决概率和统计问题，并推导出统计估计和假设检验等重要概念。
4、泛函分析与内积空间：柯西不等式是内积空间中的基本不等式之一。在泛函分析的研究中，柯西不等式被用来分析内积空间中的距离、正交性、完备性等性质。它为证明线性空间的完备性和收敛性提供了重要工具。
5、数学优化问题：柯西不等式在解决数学优化问题时也有应用。它被应用于推导不等式约束下的最优条件，为证明最优性和存在性提供了基础。在线性规划、非线性规划等优化问题中，柯西不等式的应用常常起到关键作用。