关于伴随矩阵的证明 线性代数

Question

证明这个题？

Answer 1

证明：
r(A)=n，则|A|≠0
AA*=|A|E
则R(A*)=n

当|A|=0,即R(A)<n
此时，由线性方程组解向量与系数矩阵的关系
对于AX=0
显然，
R(A)+R(A*)≤n
则
R(A*)≤n-R(A)
R(A)=n-1时，则R(A*)≤1
R(A*)≤1
而A*为AX=0一个解向量，所以R(A)≠0
则R(A*)=1

当R(A)<n-1时，例如R(A)=n-2，可知
所有的n-1阶主子式都为0，有不为零的n-2主子式。
而A*的每一个元素均由A的n-1阶主子式构成。则可知
A*的所有元素均为0.则
R(A*)=0
其他的<n-1情况亦然

得证！