方法一:见上图。
步骤如下:1.够构造函数
2.用拉格朗日中值定理。
3.将导数部分进行放大，缩小。
即可以证出。
方法二:可以构造函数，用单调性证不等式。
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第1个回答 2019-02-06
证明：∵x＞0
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x，x+1]连续
2）开区间（x，x+1）可导
从而，由微分中值定理知：
在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x【说明】①ln(M/N)=lnM-lnN
②导数公式表中有的函数都可导
③不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
④观察两端分母，可得区间。追问怎么从两端分母看出的区间啊追答三步走：观察，猜想，验证。
如前所述，不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
首先，观察中间式子是ln（1+x/x)，变形得：ln（x+1）-lnx，可见都是对数函数，猜想是对数函数求导，记为f（u）=lnu。
以下验证。
求导得：f′(u)=1/u①
再看不等式两端，其式子分别为：1/x+1,1/x②
显然，将x与x+1分别代入①式即得②式。追问不好意思 在问一下 不等号两边的式子为什么是求导后的结果 怎么看出来不等式两边是不是被求到过了呢追答因为要用微分中值定理，即存在c∈(a,b)使得f′(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，
所以其要领在于用端点值替换相应位置的c，而c含于f′（c）的表达式中。本回答被网友采纳
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x，x+1]连续
2）开区间（x，x+1）可导
从而，由微分中值定理知：
在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x【说明】①ln(M/N)=lnM-lnN
②导数公式表中有的函数都可导
③不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
④观察两端分母，可得区间。追问怎么从两端分母看出的区间啊追答三步走：观察，猜想，验证。
如前所述，不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
首先，观察中间式子是ln（1+x/x)，变形得：ln（x+1）-lnx，可见都是对数函数，猜想是对数函数求导，记为f（u）=lnu。
以下验证。
求导得：f′(u)=1/u①
再看不等式两端，其式子分别为：1/x+1,1/x②
显然，将x与x+1分别代入①式即得②式。追问不好意思 在问一下 不等号两边的式子为什么是求导后的结果 怎么看出来不等式两边是不是被求到过了呢追答因为要用微分中值定理，即存在c∈(a,b)使得f′(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，
所以其要领在于用端点值替换相应位置的c，而c含于f′（c）的表达式中。本回答被网友采纳
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