在数列an中，a1=1,an+1=(1+1/n)an+n+1/2^n且bn=an／n，求an前n项和sn

如题所述

第1个回答 2019-08-04

a(n+1)=(n+1)a(n)/n+(n+1)/2^n,
a(n+1)/(n+1)=a(n)/n+1/2^n,
b(n+1)=b(n)+1/2^n,b(1)=a(1)/1=1.
2^nb(n+1)=2*[2^(n-1)b(n)]+1,
2^nb(n+1)+1=2[2^(n-1)b(n)+1],
{2^(n-1)b(n)+1}是首项为b(1)+1=2,公比为2的等比数列.
2^(n-1)b(n)+1=2^n,
b(n)=[2^n-1]/2^(n-1)=a(n)/n,
a(n)=n[2^n-1]/2^(n-1)=2n-n/2^(n-1).
s(n)=n(n+1)-[1/1+2/2+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)]=n(n+1)-t(n)
t(n)=1/1+2/2+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
2t(n)=2/1+2/1+3/2+...+(n-1)/2^(n-3)+n/2^(n-2),
t(n)=2t(n)-t(n)=2/1+1/1+1/2+...+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)=2+[1-1/2^(n-1)]/[1-1/2]-n/2^(n-1)
=2+2[1-1/2^(n-1)]-n/2^(n-1)
=4-(n+2)/2^(n-1),
s(n)=n(n+1)-t(n)=n(n+1)-4+(n+2)/2^(n-1)

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