怎样判断函数是否有界

Question

如题所述

Answer 1

怎样判断函数是否有界如下：

值域是有限区间的函数，是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。例如，正弦函数y=sinx，对任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函数。

有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的。例如，一次函数y=2x+1，定义域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定义域(-∞，+∞)上是无界的。但是它在区间（-1，2）上渗虚，值域-1，5，它是有界的。事实上，它在定义域的任意的真子集上都是有界的。

有的函数在定义域的部分区间上可能是无界的。例如，反比例函数y=1/x，定义域-∞，0∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上是无界的。它在区间0，1内，值域1，+∞，它是无界的。当然，它在区间1，+∞内，值域0，1，它是有界的。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上下界，则意味着值域ƒD是一个有上下界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上下确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。

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