如何判断一个函数的有界性

Question

如题所述

Answer 1

方法有3个：

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时

有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。

扩展资料：

函数值在某一个有限的范围内，即L1≤y≤L2，其中L1;L2是常数。

注意：

①L1为下界，L2为上界

②上界与下界同时存在才称之为有界 

③要看清楚题目中所给的范围

例如

（1）y=sin x 在定义域上是有界的。因为其对应的函数值都会满足：-1≤y≤1。

（2）y=ln x在定义域上是无界的。因为其对应的函数值都会满足：y∈R。

但在定义域内的任何一个有限区间。如 （1,5）上，函数则是有界的。因为其对应的函数值都会满足：0＜y＜ln 5。

参考资料：百度百科-有界性定理

Answer 2

讨论函数的有界性，除了需要给定函数，还需要给定讨论的范围（一般是区间）。
函数y=lnx在其定义域内是无界的，但是对任b>a>0，这个函数在区间(a,b)内却是有界的。本回答被网友采纳