关于高二的数学问题！在线等…

Question

如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

Answer 1

设切去的正方形的边长为x，则
盒子的容积为V=(a-2x)*(a-2x)*x (0<x<a/2)
V＝(a-2x)(a-2x)*4x/4
根据不等式abc<=((a+b+c)/3)^3,当且仅当a=b=c时等号成立。
所以V=(a-2x)(a-2x)*4x/4<={[(a-2x)+(a-2x)+4x]/4}^3=a^3/8,当且仅当a-2x=4x时等号成立，即x=a/6时V有最大值2*a^3/27.

中午算的结果有点问题，现在改正过来了。
如果用导数也可求出，但是V'=0可得出V的最值，所以得验证。
V'=12x^2-8ax+a^2=(2x-a)(6x-a)=0,得x=a/2,x=a/6,当x=a/2时有最小值，x=a/6时有最大值。把x=a/6代入可得到最大值为2a^2/27.

Answer 2

不知道你们有没有学导数，如果学了就好办了
假设正方形的边长为a 减去正方形的边长为X
则 容积为 y=(a-2x)^2x
=4x^3-4ax^2+a^2x
y'=12x^2-8ax+a^2
=12(x^2-3/2ax+a^2/12)
=12(x-a/3)
当=a/3时 Y有最大值

Answer 3

系起来，富有时代的气息，去年不少试题还以“润扬大桥”、“神舟6号”为背景，也渗透对学生的思品教育。

例2、在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一）， 爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”．

在游船上，他注意到表（二），思考了一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：

（1）票价 （元）与里程 （千米）的函数关系式；

（2）游船在静水中的速度和水流速度．

里程（千米）
票价（元）

甲→乙
16
38

甲→丙
20
46

甲→丁
10
26

…
…

表一

出发时间
到达时间

甲→乙
8:00
9:00

乙→甲
9:20
10:00

甲→乙
10:20
11:20

……
……
……

表二

点评：本题是精心编制的一道以旅游为实际背景的应用题。本题巧妙地将一次函数与列方程组解应用题编织在一起，计算量不大，解决此题的关键在于学生能否从图表中获取有用信息，能否正确分析信息。在第（1）小题中只需从三组数量关系中选取两组就可确定一次函数关系；在第（2）小题中需要从图表中分析出顺流和逆流的时间分别是多少？这是本题的难点。

2、实验操作。动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在。

例3、如图（1），是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边分别为a，b，斜边为c，图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能够验证勾股定理的图形。

（1）画出拼成这个图形的示意图，写出它是什么图形；

（2）用这个图形证明勾股定理。

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能利用图（1）中所给的直角三角形拼成另一种证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图。（无需证明）

点评：这是一道动手拼图，利用图形面积验证勾股定理的操作题，解题的关键是如何把给定的图形拼成一个熟悉的简单的能够运用公式计算其面积的几何图形。通过拼图，利用面积法验证公式、定理是近几年中考命题的热点。

解答：（1）拼图的结果如图（3），它是一个直角梯形。

（3）

（2）

∵
又 S△I+S△Ⅱ+S△Ⅲ

=
∴
整理，得
（3）能用图（1）中的直角三角形拼出证明勾股定理的图形，拼图结果如图（4）所示。

（4）

例4、如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点（D、E不与B、A重合）．

（1）求证：MD=ME；

（2）求四边形MDCE的面积：

（3）若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，（a≠b）”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD∶ME的值．

点评：三角尺每名学生都有，在解决这类问题时就可以利用身边的工具进行操作、演示，探究图形变化中的不变性，寻找规律进行解题。

3、探求规律。学习数学的过程，是不断探求规律、应用规律解决问题的过程，我们通常说的数学公式、法则、定理，就是前人在数学研究中探求而得到的应用广泛的规律，这些仅是数学海洋中的极小部分，所有数学问题都有规律可循。

探求规律是一种创造性的综合思维活动，它涉及分类、转化、对称、数形结合、方程、函数等众多的数学思想方法。

例5、分析图①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图6③中画出其中的阴影部分。

例6、计算：

……
点评：本题属猜想数字规律型的题。显然，直接计算太麻烦了，肯定是需要一些技巧的。首先观察每个括号中的分母，3、8、15、……99之间，没有倍数关系，它们之间的差也不是均等的。不过我们可能通过分解来观察：3=1×3，8=2×4，15=3×5，这样我们可猜出下一个数是24=4×6，最后一个数是99=9×11。这样就可把每个括号中的式子算出，再把分母分解，达到约分的目的。

因为

所以，原式= ……
做完本题你思考过 =？； =？

此类问题需要根据题目中所给的数据、数字、等式等寻找出规律，才能解答。主要考查学生运算、观察、发现规律的能力。解决这类问题的方法是：先从简单的式子开始，观察数字（或等式、不等式两边的数据）随着“序号”、“编号”、项数、等式的增加而变化的情况，找出异同，分析、发现、探索变化的规律，得出一般性结论，该类题多为填空题或计算题。

4、方案设计。主要考查学生能把实际问题转化为数学问题，用数学的眼光去看待和分析事物。笛卡尔有句名言“所有的问题根本上都可以看成是数学问题”，充分诠释了数学与现实生活的密切联系，在中考复习中，我们要通过典型问题去学会应用知识分析理解现实问题，提高数学应用的意识和能力，方案设计问题的确能考查学生这一方面的能力。

例7、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．

（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；

（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．

点评：本题利用三角形的外接圆和平行四边形的性质来解决这一实际问题，不同的设计方案考查了学生的作图、计算、识别的能力。

例8、如图,一块等腰三角形的小钢板下脚料,其中AB=AC.工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料面积相