高二数学问题。。在线等。。

Question

不等式的证明。。利用均值不等式。等解题。要详细过程哦

1.已知a>0,b>0,求证 a+b+√ab/ab≥2√2

2.已知a,b,c为不等的正数，且abc=1 求证 √a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

3.已知a>0,b>0,且a+b≤4，求证 1/a+1/b≥1

Answer 1

1）∵a>0，b>0，
∴a+b≥2√(ab)，（当且仅当a=b时取等号），
∴a+b+√(ab)/(ab) ≥2√(ab)+1/√(ab) ≥2√2，（当且仅当a=b=(√2)/2时取等号）.

2）∵abc=1且a，b，c为正数，
∴1/a=bc，1/b=ca，1/c=ab，
∴2（1/a+1/b+1/c）=(1/a+ab)+(1/b+bc)+(1/c+ca)
≥2√b+2√c+2√a，（当且仅当a=b=c时取等号）
即√a+√b+√c≤1/a+1/b+1/c，
又a，b，c互不相等，
∴√a+√b+√c＜1/a+1/b+1/c.

3）∵a>0，b>0，
∴a+b>0，1/a+1/b>0，
又a+b≤4，
∴4(1/a+1/b) ≥(1/a+1/b)(a+b)
=b/a+a/b+2
≥2+2=4，（当且仅当a=b时取等号）
即证得(1/a+1/b) ≥1.