特征值和特征向量是什么关系？

Question

如题所述

Answer 1

特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们之间存在密切的关系。特征向量是指矩阵在经过某种线性变换之后，仍然沿着原来的方向，只改变了向量的长度的向量。通常情况下，矩阵有多个特征向量。特征值是矩阵对应特定特征向量的值，它是在经过线性变换后得到的标量。每个矩阵对应于一组特征值和特征向量，特征向量的个数等于矩阵的维度。
特征值和特征向量之间的关系可以表示为以下形式：Ax = λx，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。该方程表示矩阵通过向量x的线性变换后，得到的新向量依然在同一方向上，只是在长度上发生了变化。特征向量x与特征值λ是一一对应的。
在实际应用中，特征值和特征向量可以用于解决各种问题，如数据降维、信号处理、机器学习等领域。因此，掌握特征值和特征向量的计算和分析方法是非常重要的。

Answer 2

Ax=px，满足上述方程的p为特征值，对应的x为特征向量。遗项后得到（A-p I）x=Bx=0,其中 I 为单位矩阵。满足上述方程的p，也就是矩阵A的特征值，会使得矩阵B的行列式为0。根据线性代数的理论，对于方程Bx=0，当矩阵B的行列式为0时，x有无穷多组非零解。
另外，对于方程Bx=0，若x是该方程的非零解，即x是特征向量，因为B（kx）=k（Bx）=0,则kx也是该方程的解，即kx也是特征向量，k只要是非零常数即可。因此，任何一个特征值对应无数个特征向量