已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2。（1）求q关于p的函数关系式； （2）求证：抛物线y=x 2 +px+q与

Question

已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2。（1）求q关于p的函数关系式； （2）求证：抛物线y=x 2 +px+q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y=x 2 +px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值。

Answer 1

解：（1）由题意得2 2 +2p+q+1=0，即q=-2p-5； （2）∵一元二次方程x 2 +px+q=0的判别式△=p 2 -4q， 由（1）得△=p 2 +4（2p+5）=p 2 +8p+20=（p+4） 2 +4＞0， ∴一元二次方程x 2 +px+q=0有两个不相等的实根， ∴抛物线y=x 2 +px+q与x轴有两个交点； （3）由题意，x 2 +px-2p-4=0， 解此方程得x 1 =2，x 2 =-p-2 （p≠-4）， ∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4）， ∵ ∴顶点坐标是 ， ∵以AB为直径的圆经过顶点， ∴ 或 ， 解得p=-2或p=-6， ∴P=-2，q=-1或p=-6，q=7。