在几何上怎么理解周期函数fx在0到T上的积分为零？

Question

在几何上怎么理解周期函数fx在0到T上的积分为零？证明周期函数的过程我懂，最后也得证了，但是我在几何上无法理解，因为0到T上fx是存在面积的，为什么这里会得零？

Answer 1

如果定积分表示的区域全部在x轴上方，则定积分的值等于此区域的骂面积。而如果区域全部在x轴下方，那么定积分的值就等于此区域面积的相反数。

函数f(x)在0到T上的积分为零，是因为这部分区域，一半的面积是在x轴上方，一半的面积是在x轴下方，所以和为零。

比如f(x)=sinx，在0到2π的积分值即为0，因为0-π部分的定积分是正值，π-2π部分的定积分是负值，但二者的绝对值相等，所以和为零。

扩展资料：

若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证f（ax+b）的周期。

∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期。

假设存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但 T’<T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T*/ a。

参考资料来源：百度百科--周期函数

Answer 2

定积分不是面积。如果定积分表示的区域全部在x轴上方，则定积分的值等于此区域的骂面积。而如果区域全部在x轴下方，那么定积分的值就等于此区域面积的相反数。函数f(x)在0到T上的积分为零，是因为这部分区域，一半的面积是在x轴上方，一半的面积是在x轴下方，所以和为零。比如f(x)=sinx，在0到2π的积分值即为0，因为0-π部分的定积分是正值，π-2π部分的定积分是负值，但二者的绝对值相等，所以和为零。追问

如果一个周期函数全部位于x轴上方，例如sinx+2，那么此时fx在0到T上的积分还是等于0吗？

追答

当然不是的

追问

但是此时的fx也满足上述的公式啊，就是说要用这个公式还得满足一定条件是吗

比如，fx在周期区间内关于某个在x轴上的点对称？

追答

你的原题应该是，已知f(x)为连续的T周期函数，要证明其原函数也是T周期函数。成立是有条件的，就是f(x)在0-T上的定积分等于0，如下图

追问

但是f(x)=sinx+2也是个连续的以T为周期的函数，而且sinx+2在0到t上的积分也为0，但是图像如下图，我就比较难理解为什么其值是零呢

追答

不对，sinx+2在0-2π上的定积分不等于0

你发的图片没看到，我估计是你算错了，sinx+2始终是大于0的，在任何一个区间上的定积分都大于0。

追问

但是根据公式，周期函数在0到t的定积分应该等于零啊

追答

你要弄懂你原来的这个图片在证什么，而不是把它得出的结论作为固定的公式来用。
任意的一个T周期函数在0-T上的定积分为零，这个结论显然是错误的。
f(x)为T周期函数，要推出f(x)的原函数也为T周期函数，其充要条件是你这个“公式”，而不是说这个“公式”对于任意T周期函数都是正确的。

追问

我明白了！厉害！

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