正定矩阵的三种判定方式

Question

如题所述

Answer 1

正定矩阵的三种判定方式介绍如下：

特征值检查：求出矩阵的所有特征值，判断它们是否全部大于0。如果全部大于0，则是正定矩阵，如果存在一个特征值小于或等于0，则不是正定矩阵。

对称性检查：先检查矩阵是否为对称矩阵，即矩阵的转置是否等于矩阵本身，如果不对称，则不是正定矩阵。

行列式检查：通过计算矩阵的行列式来判断矩阵是否为正定矩阵，行列式为正数的矩阵是正定矩阵，而行列式为零或负数的矩阵不是正定矩阵。

拓展介绍

正定矩阵不一定是实对称矩阵。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵，也称共轭对称。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内，实数域上是对称矩阵。

如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

对称矩阵

如果只是大学做题或者考研的话只讨论实数域，正定矩阵本来就是正定二次型引出的，它是与正定二次型一起存在的一个定义，所以正定矩阵的大前提一定是对称的，证明一个矩阵是否正定，第一应该先证明这个矩阵是否对称。在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式，复域中则对应埃尔米特正定双线性形式。求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。