如何理解矩阵的特征值和特征向量？

如题所述

第1个回答 2023-09-22

设有Aα=λα
也就是说|A-λE|=0.
同理(AT)β=λ'β
则|(AT)-λ'E|=0.
因为(A-λE)T=(AT)-λE
所以得到λ'=λ
即A和AT具有相同的特征值λ，但它们的特征向量不一定相等。
(AT)Aα=(AT)λα=λ(AT)α
其中α是A的特征值，不是AT的特征值，所以无法继续运算，也就是说，一般情况下ATA和A的特征值是没有关系的。
但如果A和AT有相同的特征向量，也就是A=AT，即A为实对称矩阵，那么ATA=A²，此时它的特征值等于A的特征值的平方λ².

相似回答

特征值和特征向量有何关系?答：特征向量是非零向量，它被矩阵对应的线性变换所拉伸的倍数就是特征值。因此，特征向量和特征值是密切相关的，特征值告诉我们特征向量在矩阵对应线性变换中的行为表现。在矩阵中找到特征向量，必须先知道特征值，并且每个特征值都对应或多个特征向量。因此，特征值和特征向量是线性代数中的基本概念，在很多领...

矩阵特征值和特征向量的数学意义是什么?答：特征向量（Eigenvector）是与特征值相对应的非零向量，它描述了矩阵在某个方向上的特征。当我们将一个特征向量作为输入，通过矩阵变换后，输出的结果向量仍然与输入向量共线。这意味着特征向量在矩阵变换下保持不变的方向，只是长度发生了变化。特征向量可以帮助我们了解矩阵在某些特定方向上的行为。矩阵特征...

特征值和特征向量有啥关系?答：特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

怎么理解矩阵的特征值和特征向量答：总结来说，特征值和特征向量的出现实际上将复杂的矩阵由实数和低维的向量来形象的描述（代表），实现了降维的目的。在几何空间上还可以这样理解：矩阵A是向量的集合，而则是向量的方向，可以理解为矩阵A在方向上作投影，而矩阵又是线性空间变换的描述，所以变换后方向保持不变，仅是各个方向投影...

如何理解矩阵的特征值与特征向量?答：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵...

特征值和特征向量是什么意思?答：特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征...

大家正在搜

矩阵的特征值和特征向量已知特征值和特征向量求矩阵特征值为0的特征向量特征值与特征向量例题伴随矩阵的秩和原矩阵的关系求矩阵的特征值对称矩阵的特征值矩阵特征向量怎么求逆矩阵的特征值