高二数学双曲线问题

Question

双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0b＞0)的两个焦点分别为F1.F2,以F1F2为边作正三角形MF1F2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，求双曲线的离心率

Answer 1

双曲线x²/a²-y²/b²=1(a＞0b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂；以F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂；若双曲线恰好平分该三角形的另两边，求双曲线的离心率

解：设F₁M所在直线的方程为y=(√3)(x+c)；令x=0，得y=(√3)c；即F₁(-c，0)；M(0，(√3)c)；
F₁M的中点N(-c/2，(√3/2)c)在双曲线上，因此N的坐标满足双曲线方程，于是得等式：
c²/(4a²)-(3c²)/(4b²)=1，即有(c²/a²)-(3c²)/b²=4...........(1)
又b²=c²-a²，代入(1)式得(c²/a²)-[3c²/(c²-a²)]=(c²/a²)-3(c²/a²)/[(c²/a²)-1]=e²-3e²/(e²-1)=4
即有e²(e²-1)-3e²=4(e²-1)；e⁴-8e²+4=0，故e²=(8+√48)/2=4+2√3，e=√(4+2√3)=√(1+√3)²=1+√3.
即此双曲线的离心率e=1+√3.