【数学-线性代数】如图：为何说A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第一行所得

Question

【数学-线性代数】如图：为何说A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第一行所得的行列式？为何得知M11+M12+M13+M41=A11-A12+A13-A14后又能得出该行列式？感谢大神回答!

Answer 1

有一个行列式按行展开定理。代数余子式，比如A12就是除去第一行和第二列得到的行列式再乘上1或-1（要根据逆序数定），用按行展开定理，就相当于第一行的元素变成一。

定理 ：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和。

因为行列式的算法就是用某一行（或某一列）元素乘以对应元素的代数余子式的乘积，因此A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第一行所得的行列式。

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

参考资料来源：百度百科-行列式

Answer 2

第一个疑问：因为行列式的算法就是用某一行（或某一列）元素乘以对应元素的代数余子式的乘积，因此A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第一行所得的行列式。这样说你能明白吗？

第二个疑问：

有疑问请追问，有问必答，谢谢请采纳

追问

谢谢，第二问我还不明白的是，为什么之后的行列式会变成那样

等等，我明白了

等等…Mij是除aij所在行列的D值，Aij正负值也只是与aij的位置有关。那么aij正负值设置有什么意义？

我又想通了（≧∇≦）没问题了

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Answer 3

有一个行列式按行展开定理。代数余子式，比如A12就是除去第一行和第二列得到的行列式再乘上1或-1（要根据逆序数定），用按行展开定理，就相当于第一行的元素变成一。
定理 ：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和。追问

谢谢，那么第二个问题呢？为什么能得出那个行列式？

Answer 4

第二问是按列展开的，因为代数余子式和余子式之间相差一个(-1)∧(m+n)。所以可以把第一列写成那样。不知道你能不能明白

Answer 5

为何说A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第一行所得的行列式？
这是因为计算行列式值的时候，可以按照某行展开来方便计算（即降阶）。比如这里的D按照第一行展开为：D=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14，这里的a11=3,a12=-5,a13=2,a14=1正是第一行的元素。那么A11+A12+A13+A14实际上不就是计算a11=1,a12=1,a13=1,a14=1时的行列式的值吗？
为何得知M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41后又能得出该行列式？
同样道理，当将第一列的元素全换成1时，则行列式的值为A11+A21+A31+A41。
但要计算的的是M11+M12+M13+M14，由于M余子式是不带符号的，而A余子式是带符号的需要转换一下A11=(-1)^(1+1)M11=M11,A21=(-1)^(2+1)M21=-M21,A31=(-1)^(3+1)M31=M31,A41=(-1)^(4+1)M41=M41.
因此，M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41，即是计算将第一列替换成[1,-1,1,-1]^T后行列式的值。