已知数列{an}中,a1=1,sn=3an+1(1)求{an}的通项an（2）求a2+a4+a6+…+a2n。

Question

求通项需要分段吗？为什么用或不用？什么时候用？举个例子呗。谢谢啊。

Answer 1

(1)a1=1，sn=3an+1
a1=s1=3a1+1 2a1=-1 a1=-2≠1
∴数列是分段数列
s(n-1)=3a(n-1)+1
an=sn-s(n-1)=(3an+1)-[3a(n-1)+1]=3an-3a(n-1)
2an=3a(n-1)
an=3/2a(n-1)
数列是以1为首项，3/2为公比的等比数列
通项公式为：
an=1 (n=1)
an=(3/2)^(n-1) (n>1)
(2)a2+a4+a6+…+a2n
通项公式为：An=(3/2)^(2n-1)
首项为3/2，公比为(3/2)²
则a2+a4+a6+…+a2n={(3/2)[1-(3/2)^2n]}/[1-(3/2)²]
={(3/2)[1-(3/2)^2n]}/(-5/4)
=(6/5)[(3/2)^2n-1]追问

为什么老师说公比是4/3?是我写的题目不规范吗？
已知数列{an}中,a1=1,sn=3a（n+1）(1)求{an}的通项an（2）求a2+a4+a6+…+a2n。

p.s:（n+1)是a的下角标哦，这样的话会有什么改变吗？

追答

结果当然会改变
sn=3a(n+1)
s(n-1)=3an
an=sn-s(n-1)=3a(n+1)-3an=
3a(n+1)=4an
a(n+1)=4/3an
数列是以1为首项，4/3为公比的等比数列
通项公式为：
an=(4/3)^(n-1)
(2)a2+a4+a6+…+a2n
通项公式为：An=(4/3)^(2n-1)
首项为4/3，公比为(4/3)²
则a2+a4+a6+…+a2n={(4/3)[1-(4/3)^2n]}/[1-(4/3)²]
={(4/3)[1-(4/3)^2n]}/(-5/9)
=(12/5)[(4/3)^2n-1]

追问

麻烦你了。。但是我还是不太明白。。。
1、为什么第一题当中不用分段呢？
2、第二题当中An=(4/3)^(2n-1) 这里的2n-1是怎么来的呢？

追答

1、为什么第一题当中不用分段呢？
数列的通项公式为：an=(4/3)^(n-1)
那么a1=(4/3)^(1-1)=(4/3)^0=1
与题目所给出的条件a1=1吻合
所以不需要分段

2、第二题当中An=(4/3)^(2n-1) 这里的2n-1是怎么来的呢？
数列{an}的通项公式为：an=(4/3)^(n-1)
a2+a4+a6+…+a2n中选的是数列的偶数项
所以我们需要把n变成2n才是数列偶数项的通项公式

Answer 2

①sn=3an+ 1 ； ② s（n-1)=3a(n-1)+1
①- ② 得： an=3an-3a(n-1) 2an=3a(n-1) 所以an是首项为1，公比为3/2的等比数列。
知道了这个，其他问题都好解决 。
自己算吧 加油...

Answer 3

Sn=3an+1
Sn-1=3an-1+1
二式相减得：an=3an-3an-1
整理得：an/an-1=3/2，即为等比数列，
所以通项为：an=(3/2)n-1.
(2)
a2,a4, …也构成等比数列，公比为(3/2)2，即9/4.
首项为a2=a1q=3/2，
所求即为新等比数列的前n项和，可以套公式自己写出来。