先看齐方程:y'+(1/x)y=0, dy/y=-dx/x, 解为:ln|y|=-ln|x|+C1,于是:xy=±e^(C1)=C 于是y=(1/x)C,然后用常数变易法将C改为C(x)求通解。
其中C为常数,由函数的初始条件决定。
注意到,上式右端第一项是对应的齐次线性方程式(式2)的通解,第二项是非齐次线性方程式(式1)的一个特解。由此可知,一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。
定义:
线性方程:在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程。可以理解为:即方程的最高次项是一次的,允许有0次项,但不能超过一次。比如ax+by+c=0,此处c为关于x或y的0次项。
微分方程:含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的,且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。