已知数列{an}满足a1/2+a2/4+a3/8+....+an/2^n=n^2

Question

（I）求a1,a2,a3 （II）求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn

Answer 1

解：(I)a1/2=1
a1=2
a1/2+a2/4=4
a2=12
a1/2+a2/4+a3/8=9
a3=40

(II)
a1/2+a2/4+a3/8+...+a<n-1>/2^(n-1)=(n-1)^2
a1/2+a2/4+a3/8+...+a<n-1>/2^(n-1)+an/2^n=n^2
an/2^n=n^2-(n-1)^2=2n-1
an=(2n-1)*2^n
Sn=a1+a2+a3+...a^n=2^1+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n
=2^1+2^2+2^3+...+2^n+(2*2^2+4*2^3+6*2^4*...*2(n-1)*2^n)
=2(2^n-1)+[2^3+2*2^4+3*2^5+...+(n-1)*2^(n+1)]
=2(2^n-1)+[2^3+2^4+2^5+...+2^(n+1)+2^4+2^5+2^6+...+2^(n+1)+...+...+2^(n+1)]
=2(2^n-1)+2^3[2^(n-1)-1]+2^4[2^(n-2)-1]+2^5[2^(n-3)-1]+...+2^(n+1)[2^(n-n+1)-1]
=2^(n+1)-2+2^(n+2)-2^3+2^(n+2)-2^4+2^(n+2)-2^5+...+2(n+2)-2^(n+1) (仔细看，其中有n-1个2^(n+2))
=2^(n+1)+(n-1)2^(n+2)-(2^3+2^4+2^5+...+2^(n+1))-2
=2^(n+1)+(n-1)2^(n+2)-2^3*[2^(n-1)-1]-2
=2^(n+1)+(n-1)2^(n+2)-2^(n+2)+2^3-2
=2^(n+1)+(n-2)*2^(n+2)+6
=2^(n+1)+2(n-2)*2^(n+1)+6
=(2n-3)*2^(n+1)+6

经验证，答案正确。牛B这题怎能不加分？

Answer 2

1、a1=2 a2=12 a3=40
a1/2+a2/4+a3/8+....+an/2^n=n^2
a1/2+a2/4+a3/8+....+an-1/2^（n-1）=（n-1）^2
相减an/2^n=2n-1
an=（2n-1）2^n
Sn=a1+a2+……an=1*2^1+3*2^2+5*2^3……+(2n-1)2^n
2Sn= 1*2^2+3*2^2……+(2n-3)2^n+(2n-1)2^(n+1)
相减-Sn=2+2^3+2^4+……+2^(n+1)-(2n-1)2^(n+1)
= 2+8(1-2^(n-1))/(1-2)-(2n-1)2^(n+1)
=2^(n+2)-6-(2n-1)2^(n+1)
所以Sn=(2n-1)2^(n+1)-2^(n+2)+6

Answer 3

a1/2+a2/4+a3/8+....+a(n-1)/2^(n-1)+an/2^n=n^2-------------①
a1/2+a2/4+a3/8+....+a(n-1)/2^(n-1)=(n-1)^2-----------------②
①-②得an/2^n=n^2-(n-1)^2
an=(2n-1)2^n
所以a1=2
a2=12
a3=40
令an=2n*2^n-2^n=4n*2^(n-1)-2^n=4bn-2^n
∵(2+x)^n的x的系数为n*2^(n-1)
所以bn为(2+x)^n的x的系数
所以Snb=b1+b2+b3+...+bn为(2+x)+(2+x)^2+(2+x)^3+...+(2+x)^n的x的系数
而(2+x)+(2+x)^2+(2+x)^3+...+(2+x)^n
=[2+x-(2+x)^n*(2+x)]/[(1-(2-x)]
=[2+x-(2+x)^(n+1)]/(x-1)分母为x-1
所以要求Snb只需考察分子的x^2和x的系数
显然分子的x^2的系数为(n+1)n/2*2^(n+1-2)=n(n+1)2^(n-2)
x的系数为(n+1)2^n+1
所以Snb=n(n+1)2^(n-2)-[(n+1)2^n+1]=n(n+1)2^(n-2)-8(n+1)2^(n-2)-1
=(n+1)(n-8)2^(n-2)-1
所以Sn=a1+a2+a3+...+an
=4Snb-(2+2^2+2^3+...+2^n)
=4(n-8)(n+1)2^(n-2)+4-[2-2^(n+1)]/(1-2)
=(n-8)(n+1)2^n+6-2^(n+1)
=(n^2-7n-10)2^n+6

Answer 4

（I） a1/2=1^2 a1=2
2/2+a2/4=2^2 a2=12
2/2+12/4+a3/8=3^2 a3=40
（II）an/2^n=n^2-(n-1)^2
an=2^n(2n-1)
sn的我算的有问题。。不误导你了。我知道思路就是不知道哪算错了。带进去发现不对