已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx在x=‐1和x=3处取得极值.(1)求a`b的值;(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值

Question

如题所述

Answer 1

解：f’﹙x﹚=x^2+2ax+b.
因为函数f(x) 在x=‐1和x=3处取得极值
所以 f’﹙-1﹚= 0 且 f’﹙3﹚=0 即：
1-2a+b=0
9+6a+b=0 解得a=-1 b=-3
(2) f(x)=1/3x^3-1x^2-3x
f’﹙x﹚=x^2-2x-3
易得函数f(x)在[-2,-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减
所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(-1)=5/3
函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(-2)或f(2)
又因为f(-2)=-2/3 f(2)=-22/3
函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(2)=-22/3

Answer 2

(1)
极值意味着在x=‐1和x=3附近处导数为0.
则f'(x)=x^2+2ax+b=0,x=‐1和x=3是f‘(x)的2个解。由此带入方程可得a=-1 ， b=-3.
(2)
f'(x)=x^2-2x-3 若f'(x)>=0,可得x<=-1 或者x>=3 由此可知f(x)在(-∞,-1][3,∞)上递增，(-1,3)递减。
因为题中已知在x=-1处有极值，由此再计算f(-2) 、f(2)即可
f(-2)=-2/3 f(2)=-22/3 f(-1) =5/3
所以f(x)在[-2,2]上的最大值是5/3

Answer 3

（1）
f'(x)=x^2+2ax+b
x=-1和x=3为x^2+2ax+b=0的两个根
得1-2a+b=0 9+6a+b=0
故a=-1 b=-3
（2）
得f(x)=1/3x^3-x^2-3x
f'(x)=x^2-2x-3 故x=-1时f(x)取极大值=5/3，x=3时f(x)取极小值=-9
[-2,2]中[-2,-1]函数递增，[-1,2]函数递减
故最大值为f（-1）=5/3
最小值为f（-2）与f（2）之间较小的
f（-2）=-2/3
f（2）=-22/3
故最小值为f（2）=-22/3

Answer 4

（1）、f(x)=1/3x^3+ax^2+bx
f'(x)=x^2+2ax+b在-1和3处有极值
（-1）^2+2a*（-1）+b=0 ， 2a-b=-2
3^2+2a*3+b=0 6a+b=-6
a=-1 b=0
（2）、f(x)=1/3x^3-x^2
f'(x)=x^2-2x=（x-1）^2 -1 当x=-2是最大值为8 x=1是最小值 -1

Answer 5

f'(x)=x^2+2ax+b
∵在x=‐1和x=3处取得极值
∴x=‐1和x=3为x^2+2ax+b=0的两个根
根据韦达定理
-2a=-1+3 ,b=-1*3
∴a=-1,b=-3
(2)
f(x)=1/3x^3-x^2-3x
f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
列表：
x -2, (-2,-1) -1 (-1,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -2/3 增 极大值 减 -22/3
∴f(x)max= f(-1)= 5/3,f(x)min=f(2)=-22/3本回答被网友采纳