对函数割线的斜率,任取Δx>0,在x处:
k(x)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx;
f(x)→0(x→+∞),则(不知道极限的ε-δ表述你会不会):
任取ε>0,存在M∈R,使得当x>M时,
|f(x)|<ε,
|k|<2ε/Δx;
而由于取ε时,已取Δx,则可令ε=(Δx)^2,
故 |k|<2Δx;
令Δx→0,k→f'(x),k→0。
当然,这前提是f(x)在(0,+∞)上有界且可导,即连续;
若其不连续则没有Δx→0,k→f'(x)。
比如你可以在x-y系内构造出如下函数:(如附图)
(1)画出y=1/x 和y=-1/x (x>0);
(2)在两条线之间一些画出平行斜线。
这些斜线组成的函数就满足x趋于无穷时f(x)趋于0,f(x)的导数不趋于0。
追问
这个之前就没看懂 这些斜线又不连续的 可是 可导必连续啊
追答可导的意思是在x=某一个值的时候 它的导数只有一个值 除了断点之外剩下的值都可导
但我不太确定f(x)在(0,+∞)上有界且可导是否必须每一个x的值都可导
应该是每个值都可导 这才有可导必连续的结论
是不是f(x)在(a,b)上可导 但lim(x-b)f'(x)不一定存在
lim(x-b)f'(x)
是神马意思啊 逼人学艺不精 仅是高中水平
它的导数是0啊
追答哦,看错了,以为说的是f‘(0) = 0
sin(x)
有界,可导
可它“当x趋于无穷时f(x)趋于0” 条件不符合啊
追答sin(x * e^x) / x
追问就像f(x)在(a,b)上可导 但lim(x-b)f'(x)不一定存在
所以,f(x)在(0,+∞)可导是说f'(x)在(0,+∞)上处处存在 但不能保证lim(x->∞)f'(x)一定存在
是的吧 若是的话,我就懂了
嗯,是的
f'(x)在(0,+∞)上处处存在,但lim(x->∞)f'(x)可能不存在。
如sin(x*e^x)/x
它在(0,+∞)有界可导。
但limit(x->∞) f'(x) 不存在