f在0到正无穷有界可导，且x趋于正无穷极限为0，那么当x大于0 在x到2x应用lagrange定理有f(2x)-f(x)=f'(ξ)x 让等式两边趋于正无穷，ξ趋于正无穷 等式左边是0为什么不能得到x趋于正无穷f'(x)=0 ？
那为什么有的题目是列出拉格朗日然后让两边x趋于无穷判断的
追答我不看到具体题目没法判断
追问fx在0到正无穷有界、可导且x趋于正无穷f'(x)存在,则必有x趋于正无穷 f'(x)=0
证明:反证 假设极限为a≠0，还是在x到2x应用lagrange定理有f(2x)-f(x)=f'(ξ)x 让等式两边x趋于正无穷，ξ趋于正无穷，左边是无穷， 但|f(2x)-f(x)|≤|f(2x)|+|f(x)|≤2M，矛盾，所以命题正确，
那这里为啥可以x→+∞判断呢 是我理解有问题吗。谢谢
对于每个给定的x，拉格朗日定理都是在一个闭区间上
我现在相信f'(x)在x->无穷大确实应该等于0
啥意思 第一不能为0啊
追答哪里不能为0？
追问最上面那个 第一问推不出f'(x)＝0
追答直觉上f'(x)应该趋于0，但是我一时也想不出反例。尝试举个例子吧
首先：我收回前面关于拉格朗日不能使用的说法，因为对于任意给定的x，[x,2x]是闭区间，应该可以使用拉格朗日定理
但是拉格朗日定理没有说ξ的取值方式。在f'(x)在x趋于无穷大时不收敛的特殊情况下，也许下面方式下能满足你说的题设，但是f'(x)不等于0
假设f'(x)在x趋于无穷大时不收敛，例如当x属于R\Q时，f'(x) =0, f'(x)=1当x属于Q
当我们应用[x,2x]这个特殊闭区间上的拉格朗日定理时，假设ξ总是取得在R\Q上，则满足你所有条件，但是f'(x)不趋于0，
当然我不能严格证明这样的f(x)的存在性
答案给的反例是sin(x^2)/x 确实x趋于+∞ f'(x)不存在 但是我还是那个问题 那我能拉格朗日为什么不能让等式两边趋于正无穷判断呢，难道是因为f'(x)不一定存在吗 ，可是无穷后等式左边明明是0了 右边不应该只能是0吗 f'(x)不存在又是什么说法
追答对于f(x)=sin(x^2)/x, f'(x)=[2x^2cos(x^2) -sin(x^2)]/x^2
=2cos(x^2) -sin(x^2)/x^2
这个式子恰好满足我说的条件：f'(x)无极限，且在任意[x,2x]里存在点使得f(ξ)=0
你确实是可以两边取x趋于无穷的极限的，但是ξ是在[x,2x]这个非常大的区间内选取的一个特定点，使得f'(ξ)=0，虽然f'(x)的极限不存在，但是存在子列=0是很容易的