设f(X)=x平方十px十q(p,q属于R)求证:(1)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)1中至少有一个不小于1\2.(2)若|p|十|q|<1

设f(X)=x平方十px十q(p,q属于R)求证:(1)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)1中至少有一个不小于1\2.(2)若|p|十|q|<1,则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1

推荐答案 2012-03-29

（1）假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1/2，则有：|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜1/2+2×1/2+1/2=2 (i)
又，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
因为，（i）与（ii）矛盾，故假设不成立，即原命题成立．

（2）假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2|
|q|=|x1x2|=|x1|•|x2|≥|x2|
两式相加，得|p|+|q|≥1
这与题设p|十|q|<1矛盾，故假设不成立，即原命题得证．

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